Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M是AC的中点，∠CAD=30°，AB=2，点N在线段PB上，且$\frac{PN}{NB}=\frac{1}{3}$．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求证：MN∥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥AC，PA⊥BD，得出BD⊥平面PAC，从而证明BD⊥PC；
（2）根据$\frac{DM}{MB}$=$\frac{PN}{NB}$，证明MN∥PD，即可证明MN∥平面PDC．

解答 解：（1）证明：因为△ABC是正三角形，M是AC的中点，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC；
又PC?平面PAC，
所以BD⊥PC；
（2）证明：在正三角形ABC中，AB=2，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
由（1）知，在直角三角形AMD中，MD=AMtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\frac{DM}{MB}$=$\frac{1}{3}$；
又因为$\frac{PN}{NB}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{DM}{MB}$=$\frac{PN}{NB}$，
∴MN∥PD；
因为MN?平面PDC，PD?平面PDC，
所以MN∥平面PDC．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，解题时应熟练地掌握空间值的平行与垂直关系的判断与性质，是基础题目．