Question

12．已知实数x，y满足$\{\left.\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{cosx≤y≤sinx}\end{array}\right.$，则x-2y的取值范围是$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\{\left.\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{cosx≤y≤sinx}\end{array}\right.$作出可行域如图，

令z=x-2y，化为直线方程的斜截式$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$，
由图可知，当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过（$\frac{π}{2}，0$）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为$\frac{π}{2}$；
由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，再由cosx=$\frac{1}{2}$，得x=$\frac{π}{3}$，
即当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过（$\frac{π}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为$\frac{π}{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{3}-\sqrt{3}$．
∴x-2y的取值范围是$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．
故答案为：$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．