Question

8．在△ABC中，E为AC上一点，且$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，P为BE上一点，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是9．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），可得 $\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+4n\overrightarrow{AE}$．由向量共线定理可得：m+4n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），
∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+4n\overrightarrow{AE}$．
∵P为BE上一点，
由向量共线定理可得：m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}$$≥5+2\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$=9，当且仅当m=2n=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是9．
故答案为：9．

点评 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．