Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，若E，F分别是棱BB₁，CC₁上的点，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，设三棱锥A₁-AEF和四棱锥A-BCFE的体积分别为V₁，V₂，则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 由题意求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，再求出两个三棱锥A-BCFE的体积和A₁-B₁C₁FE的体积，作差求得三棱锥A₁-AEF的体积，则答案可求．

解答 解：如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧棱垂直底面，∴三棱柱为正三棱柱，
在底面正三角形ABC中，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AB=BC=AC=4，∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．
则${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×6=24\sqrt{3}$．
∵四边形BCFE与四边形EB₁C₁F均为直角梯形，且BE=EB₁=3，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁=2，CF=4．
∴${S}_{四边形CFEB}=\frac{1}{2}（3+4）×4=14$，${S}_{四边形E{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}（2×3）×4=10$．
${V}_{A-BEFC}=\frac{1}{3}×14×2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3}$，${V}_{{A}_{1}-E{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{3}×10×2\sqrt{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$．
∴${V}_{{A}_{1}-AEF}={V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-$${V}_{A-BCEF}-{V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}FE}$=$24\sqrt{3}-\frac{28\sqrt{3}}{3}-\frac{20\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{\frac{28\sqrt{3}}{3}}=\frac{6}{7}$．
故答案为：$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥的体积求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．