Question

20．设x，y是正数，且x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 x，y是正数，且x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，可得a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．可得$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x，y是正数，且x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，
∴a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．
则$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$$≤\frac{xy}{4xy}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y时取等号．
则$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．