Question

【题目】如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿着折起，使得.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求直线与平面的所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据，，为的中点，在中，由勾股定理可得.由，同理在中，得到.由线面垂直的判定定理证明面即可.

（2）结合（1）以为原点，为轴，过垂直于面方向为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和的坐标，设直线与平面的所成角，由求解.

（1）因为，，为的中点，

所以在中，，

所以.

又因为，

所以在中，因为，

所以.

又，

所以面，

又面，

所以.

（2）以为原点，为轴，过垂直于面方向为轴，建立空间直角坐标系：

则，，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量，

则，

即，

令，则

所以平面的一个法向量为，

又，

设直线与平面的所成角，

所以与面所成角的正弦值为：.