Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$为参数，0≤α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$与曲线C₂相交，交点分别为A，B，C（A，B，C均不与O重合）．
（1）求证：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B，C两点在曲线C₁上，求m与α的值．

Answer 1

分析 （1）射线$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$（Φ∈$[0，\frac{π}{4}）$）分别与曲线C₂联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+$\frac{π}{4}$），Φ+$\frac{π}{4}$），C（4cos（Φ-$\frac{π}{4}$），Φ），化简|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$×4×cosΦ，即可证明$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$．
（2）曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$为参数，0≤α＜π），当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，可得直角坐标B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，\sqrt{3}）$．根据两点在曲线C₁上，即可得出．

解答 （1）证明：射线$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$（Φ∈$[0，\frac{π}{4}）$）分别与曲线C₂联立解得：A（4cosΦ，Φ），B（4cos（Φ+$\frac{π}{4}$），Φ+$\frac{π}{4}$），
C（4cos（Φ-$\frac{π}{4}$），Φ），
则|OB|+|OC|=4cos（Φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（Φ-$\frac{π}{4}$）=2×4×cosΦ•cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$×4×cosΦ=$\sqrt{2}$|OA|．
∴$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）解：曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t$为参数，0≤α＜π），
当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，可得直角坐标B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，\sqrt{3}）$．
∵两点在曲线C₁上，∴α=0，m∈R．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．