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已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
证明:充分性:当q=-1时,a1=S1=p+q=p-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
当n=1时也成立.
于是
an+1
an
=
pn(p-1)
pn-1(p-1)
=p(n∈N+),
即数列{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
∵p≠0,p≠1.
an+1
an
=
pn(p-1)
pn-1(p-1)
=p.
∵{an}为等比数列,
a2
a1
=
an+1
an
=p,
p(p-1)
p+q
=p,
即p-1=p+q.∴q=-1.
综上所述,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
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1
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1
2
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S11-S9
S7-S5
=______.

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