Question

3．△ABC中∠A=90°，AB=2，AC=3，设P、Q满足$\overline{AP}=λ\overline{AB}，\overline{AQ}=（1-λ）\overline{AC}，λ∈R$，若$\overline{BQ}•\overline{CP}=1$，则λ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件将直角三角形放在坐标系中，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．

解答 解：将直角三角形放在坐标系中，则B（2，0），C（0，3），
$\overline{AP}=λ\overline{AB}，\overline{AQ}=（1-λ）\overline{AC}，λ∈R$，
∴（x，y）=λ（2，0）=（2λ，0），即P（2λ，0），
∴（x，y）=（1-λ）（0，3）=（0，3-3λ），即Q（0，3-3λ），
则$\overrightarrow{BQ}$=（-2，3-3λ），$\overrightarrow{CP}$=（2λ，-3），
∵$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{CP}$=（-2，3-3λ）•（2λ，-3）=1，
则-4λ-3（3-3λ）=1，
则-4λ-9+9λ=1，
则 5λ=10，λ=2，
故选：D

点评 本题主要考查向量数量积的应用，建立坐标系利用坐标系是解决本题的关键．