Question

15．已知函数f（x）=2e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}$+ax+1有两个极值，则实数a的取值范围为a＜-2．

Answer 1

分析 由原函数有两个极值，可知其导函数有两个不同的实数根，转化为直线y=-ax-a与曲线y=2e^x有两个不同交点求解．

解答 解：由$f（x）=2{e}^{x}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+ax+1$，
得f′（x）=2e^x+ax+a，
要使$f（x）=2{e}^{x}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+ax+1$有两个极值，
则方程2e^x+ax+a=0有两个不同的实数根，
即2e^x=-ax-a有两个不同的实数根，
令y=2e^x，y=-ax-a，
直线y=-a（x+1）过点（-1，0），设直线y=-a（x+1）与y=2e^x的切点为（${x}_{0}，2{e}^{{x}_{0}}$），
则y′=$2{e}^{{x}_{0}}$，
则切线方程为$y-2{e}^{{x}_{0}}=2{e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
代入（-1，0），得$-2{e}^{{x}_{0}}=2{e}^{{x}_{0}}（-1-{x}_{0}）$，解得：x₀=0．
∴切点为（0，2），则过（-1，0），（0，2）切线的斜率为k=$\frac{2-0}{0-（-1）}=2$，
由-a＞2，得a＜-2．
∴实数a的取值范围为a＜-2．
故答案为：a＜-2．

点评 本题考查利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，求出过（-1，0）与曲线相切的直线的斜率是关键，是中档题．