Question

4．已知θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，直线xsinθ+ycosθ-1=0和圆C：（x-1）²+（y-cosθ）²=$\frac{1}{4}$相交所得的弦长为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则θ=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 求出圆心和半径，以及圆心到直线的距离，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．

解答 解：圆的半径为R=$\frac{1}{2}$，圆心C（1，cosθ），
则圆心到直线的距离d=$\frac{|sinθ+cos^2θ-1|}{\sqrt{sin^2θ+cos^2θ}}$=|sinθ+cos²θ-1|=|sinθ-sin²θ|，
∵直线xsinθ+ycosθ-1=0和圆C：（x-1）²+（y-cosθ）²=$\frac{1}{4}$相交所得的弦长为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
等比数列R²=d²+（$\frac{1}{2}×$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）²，
即$\frac{1}{4}$=（sinθ-sin²θ）²+$\frac{3}{16}$，
即（sinθ-sin²θ）²=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{16}$=$\frac{1}{16}$，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，
∴sinθ-sin²θ=$\frac{1}{4}$，
即sin²θ-sinθ=$\frac{1}{4}$，
则（sinθ-$\frac{1}{2}$）²=0，
则sinθ=$\frac{1}{2}$，
则θ=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$，

点评 本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式以及相交弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．