Question

9．已知a＞0，函数f（x）=ax²-x，g（x）=lnx．
（1）若a=1，求函数y=f（x）-3g（x）的极值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）-3g（x）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），则问题等价于h（x）_min≥0，h′（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-1}{x}$，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用导数可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可对h（x₂）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x₂）≤0，由此求得x₂=1，进而求得a值．

解答 解：（1）当a=1时，y=f（x）-3g（x）=x²-x-3lnx，
导数y′=2x-1-$\frac{3}{x}$=$\frac{（x+1）（2x-3）}{x}$，
因为x＞0，所以当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，y′＜0，当x＞$\frac{3}{2}$时，y′＞0，
所以函数y=f（x）-3g（x）在x=$\frac{3}{2}$处取得极小值f（$\frac{3}{2}$）-3g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$-3ln$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$-3ln$\frac{3}{2}$，
函数y=f（x）-3g（x）没有极大值；
（2）假设存在f（x）≥g（ax）成立．
令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
所以h′（x）=2ax-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-x-1}{x}$，
令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有两个不等根x₁，x₂，x₁ x₂=-$\frac{1}{2a}$，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以h（x₂）=ax₂²-x₂-ln（ax₂）≥0成立，
因为p（x₂）=2ax₂²-x₂-1=0，
所以ax₂=$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$，
所以h（x₂）=$\frac{1-{x}_{2}}{2}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$≥0，
令k（x）=$\frac{1-x}{2}$-ln$\frac{1+x}{2x}$=$\frac{1-x}{2}$+ln2x-ln（1+x），
k′（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{（x-1）（x+2）}{2x（x+1）}$，
所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=$\frac{1-{x}_{2}}{2}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$≥0，
所以x₂=1代入ax₂=$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$，得a=1，
所以a∈{1}．
故存在实数a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值以及闭区间上函数的最值、函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，根据问题恰当构造函数是解决该题目的关键，要认真领会．属于难题．