Question

5．单调递增的等差数列{a_n}，a₂=1，且a₂，a₃，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n} 的前n 项和为S_n，设b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$，求数列{b_n} 的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d，运用等比数列的中项性质，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；
（2）运用等差数列的求和公式，可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=1，且a₂，a₃，a₆成等比数列，
可得a₃²=a₂a₆，即有（1+d）²=1•（1+4d），
解得d=2（0舍去），
则a_n=a₂+（n-2）d=1+2（n-2）=2n-3；
（2）由（1）可得a₁=-1，d=2，
可得S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=n（n-2），
即有b_n=$\frac{1}{{S}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n 项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4{n}^{2}+12n+8}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．