Question

10．如图，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，PA=2，求直线AC与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以A为原点，DA为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．

解答 解：如图，以A为原点，DA为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，2），B（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
设直线AC与PB所成角为θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|3|}{2×\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．
∴直线AC与PB所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．