Question

11．在△ABC中，若∠A=90°，BC=2$\sqrt{3}$，O为中线AM上一动点，则$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$的最小值是（　　）

• A． -$\frac{9}{2}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由直角三角形的斜边上的中线的性质可得AM的长，再由向量的中点的表示，结合向量的数量积的定义和基本不等式，计算即可得到最小值．

解答 解：由于∠A=90°，BC=2$\sqrt{3}$，
则斜边上的中线AM=$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$
=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|
≥-2•（$\frac{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OM}|}{2}$）²=-2•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=-$\frac{3}{2}$．
当且仅当|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OM}$|，即O为AM的中点，
取得最小值-$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查基本不等式的运用：求最值，同时考查直角三角形的斜边的中线的性质，属于中档题．