Question

3．已知a＞1，a≠1，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{alga}{（1-a）^{2}}$[1-（1+n-na）aⁿ]（n∈N₊），若数列{b_n}为递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，可得b_n=naⁿlga．通过比商即可得出．

解答 解：当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{alga}{（1-a）^{2}}$[1-（1+n-na）aⁿ]-$\frac{alga}{（1-a）^{2}}${1-[n-（n-1）a]a^n-1}
=naⁿlga．
b₁=alga．
∴b_n=naⁿlga．
∵a＞1，
∴b_n＞0，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{（n+1）{a}^{n+1}lga}{n{a}^{n}lga}$=$\frac{（n+1）a}{n}$＞1，
∴b_n+1＞b_n．
∴数列{b_n}为递增数列，
因此a的取值范围是a＞1．

点评 本题考查了递推式的应用、数列的单调性、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．