Question

已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1．
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f(x＋)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．

Answer 1

（1）a＝2，b＝－5
（2）综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋](k∈Z)；递减区间为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．

解：(1)∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]．
∴sin(2x＋)∈[－，1]，
又∵a>0，
∴－2asin(2x＋)∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5．
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1＝4sin(2x＋)－1，
又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，
∴4sin(2x＋)－1>1，
∴sin(2x＋)>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z．
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，
即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z．
∴g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z．
综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋](k∈Z)；递减区间为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．