Question

已知锐角三角形ABC的三个内角为A、B、C，其对应边分别为a、b、c，b=2

3

，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：解三角形

专题：综合题,解三角形

分析：（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，
（II）先确定A的范围，利用差角公式及辅助角公式化简可得sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

），从而可求．

解答： 解：（1）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（2）由A+B+C=π及B=

π

3

，得C=

2

3

π-A．
又△ABC为锐角三角形，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

）．
又A+

π

6

∈（

π

3

，

2

3

π），
∴sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，1]．
∴sinA+sinC∈（

3

2

，

3

]．

点评：本题的关键是由△ABC为锐角三角形，建立关于A的不等式，进而求出A的范围，而辅助角公式的应用可以把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，结合三角函数的性质进行求解．