Question

10．设已知抛物线C：y²=2px的焦点为F₁，过F₁的直线l与曲线C相交于M，N两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°，且|MN|=$\frac{16}{3}$，求p；
（2）若p=2，椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上两个点P，Q，满足：P，Q，F₁三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程，利用弦长公式，求p；
（2）分类讨论，求出弦长，表示面积，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程，整理可得$3{x}^{2}-5px+\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
∴x_N+x_M=$\frac{5p}{3}$，
∵|MN|=$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{5p}{3}$+p=$\frac{16}{3}$，∴p=2；
（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ斜率为0，此时|MN|=4，|PQ|=2$\sqrt{2}$，S_PMQN=4$\sqrt{2}$．
当直线MN斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），代入抛物线可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_M+x_N=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，
∴|MN|=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4
由PQ⊥MN，可设PQ的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入椭圆方程得（k²+2）x²-4x+2-2k²=0，
∴x_P+x_Q=$\frac{4}{2+{k}^{2}}$，x_Px_Q=$\frac{2-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（\frac{4}{2+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$，
∴S=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}（2+{k}^{2}）}$，
令t=1+k²（t＞1），S=$\frac{4\sqrt{2}{t}^{2}}{{t}^{2}-1}$=4$\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}-1}$）＞4$\sqrt{2}$，
∴四边形PMQN的面积的最小值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．