Question

设函数f（x）=x²-5x-6和函数g(x)=

k-2

x

(k≠2)．
（Ⅰ） 求过点（-1，2）且与曲线f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）若函数h(x)=f(x)+

1

2

x+12的图象与函数g（x）的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围；
（Ⅲ）设t=

1

|g(x-1)|

+

1

|g(x-2)|

+…+

1

|g(x-(2k+1))|

(k∈N*，k＞2)，比较

t2-k2

t2+k2

与

t-k

t+k

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求解该曲线过点（-1，2）的切线方程，注意点（-1，2）不一定是切点，设出切点利用待定系数法求解出所求的切线方程；
（Ⅱ）将图象交点问题进行转化与化归是解决本题的关键，注意求图象的交点就是求使得两函数值相等时对应方程的根的问题，通过研究相应方程对应的函数的极值求得k的取值范围；
（Ⅲ）将t进行变形与放缩是解决本题的关键，注意绝对值三角不等式的运用和作差法比较大小的思想．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-5x-6，
∴f'（x）=2x-5，
设点（m，f（m））在曲线f（x）上，
∴点（m，f（m））处的切线方程为点y-（m²-5m-6）=（2m-5）（x-m），
∵切线过点（-1，2），
∴2-（m²-5m-6）=（2m-5）（-1-m），即m²+2m+3=0，
∴m₁=-1，或m₂=-3
∴切线方程为7x+y+7=0，或11x+y+15=0；
（Ⅱ）∵h(x)=f(x)+

1

2

x+12=x2-5x-6+

1

2

x+12=x2-

9

2

x+6，
∴方程x2-

9

2

x+6=

k-2

x

只有一个解，
即方程k=x3-

9

2

x2+6x+2只有一个解，
设u(x)=x3-

9

2

x2+6x+2，∴u'（x）=3x²-9x²+6，
当x＜1或x＞2时，u'（x）＞0，当1＜x＜2时，u'（x）＜0，
∴x=1时，u（x）有极大值

9

2

，x=2时，u（x）有极小值4，
∴k＞

9

2

或k＜4且k≠2；
（Ⅲ）∵t=

1

k-2

(|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-(2k+1)|
又∵t=

1

k-2

(|x-(2k+1)|+|x-2k|+…+|x-1|)，
∴2t=

1

k-2

[(|x-1|+|x-(2k+1)|)+(|x-2|+|x-2k|)+…+(|x-(2k+1)|+|x-1|)≥

1

k-2

[(|x-1-x+2k+1|)+(|x-2-x+2k|)+…+(|x-2k-1-x+1|)
=

1

k-2

(2k+2(k-1)+…+2)×2
=

2

k-2

k(k+1)，
≥

2

k-2

k(k-2)=2k，
∴t＞k＞0，
∵

t2-k2

t2+k2

-

t-k

t+k

=

(t2-k2)(t+k)-(t-k)(t2+k2)

(t2+k2)(t+k)

=

2tk(t-k)

(t2+k2)(t+k)

，
∵t＞k＞0，
∴

t2-k2

t2+k2

＞

t-k

t+k

．

点评：本题是函数的综合应用问题，考查函数图象过某点处的切线方程的求解，注意点斜式方程和待定系数法的灵活运用；考查函数图象交点问题的等价转化思想，要求学生会利用导数求解函数的极值．进而解决一些综合问题；考查学生运用作差法比较大小的方法，注意放缩法的运用，要求学生具有很强的转化与化归能力．