Question

9．在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₅=11，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式； 
（Ⅱ）求数列$\left\{{\left.{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，利用已知条件列出方程组，求出首项与公差，即可求解通项公式．然后数列{b_n}的前n项和${S_n}={n^2}+2n+1$，再求解数列{b_n}的通项公式．
（2）利用裂项消项法求解即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=5\\{a_5}={a_1}+4d=11\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1…（3分）
∴数列{b_n}的前n项和${S_n}={n^2}+2n+1$
当n=1时，b₁=S₁=4，
当n≥2时，${b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{n^2}+2n+1）-[{{{（n-1）}^2}+2（n-1）+1}]=2n+1$，
对b₁=4不成立，
所以，数列{b_n}的通项公式为${b_n}=\left\{\begin{array}{l}4，（n=1）\\ 2n+1，（n≥2）\end{array}\right.$…（6分）
（2）n=1时，${T_1}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}=\frac{1}{20}$，
n≥2时，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{20}+\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{20}+\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{20}+\frac{n-1}{10n+15}=\frac{6n-1}{20（2n+3）}$，
n=1仍然适合上式，…（10分）
综上，${T_n}=\frac{1}{20}+\frac{n-1}{10n+15}=\frac{6n-1}{20（2n+3）}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式以及前n项和的求法，考查计算能力．