Question

【题目】在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取PB中点M，连结CM，得到AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，则CM⊥PB，求出VA﹣PBC，设t，（0＜t＜2），从而VA﹣PBC，（0＜t＜2），利用导数求出三棱锥P﹣ABC体积的最大值.

解：如图，取PB中点M，连结CM，

∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，AC⊥BC，

∴AC⊥平面PBC，

设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，

∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，

∴CM⊥PB，CM，

解得，

所以VA﹣PBC，

设t，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，

∴VA﹣PBC，（0＜t＜2），

关于t求导，得，

所以函数在单调递增，在单调递减.

所以当t时，（VA﹣PBC）max.

故选：D.