Question

18、如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点，F为AB的中点．证明：
（1）EE₁∥平面FCC₁．
（2）平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）法一：由EE₁∥A₁D?EE₁∥F₁C?EE₁∥平面FCC₁．即用利用线线平行来推线面平行．
法二：由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁?EE₁∥平面FCC₁．即用利用面面平行来推线面平行．
（2）先证AC⊥BC，又由AC⊥CC₁?AC⊥平面BB₁C₁C?平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直．

解答：证明：（1）证法一：取A₁B₁的中点为F₁，
连接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，
所以F₁∈平面FCC₁，
因为　平面FCC₁即为平面C₁CFF₁，
连接A₁D，F₁C，
由于A₁F₁和D₁C₁和CD平行且相等．
所以　四边形A₁DCF₁为平行四边形，
因为　A₁D∥F₁C．
又　EE₁∥A₁D，
得EE₁∥F₁C，
而　EE₁?平面FCC₁，F₁C?平面FCC₁，
故　EE₁∥平面FCC₁．

证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，
所以CDAF，
因此　四边形AFCD为平行四边形，
所以　AD∥FC．
又　CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，
FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC
所以　平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
又　EE₁?平面ADD₁A₁，
所以　EE₁∥平面FCC₁．

（ 2）证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，
又　F为AB的中点，
所以　AF=FC=FB，
因此∠ACB=90°，
即　AC⊥BC．
又　AC⊥CC₁，且CC₁∩BC=C，
所以　AC⊥平面BB₁C₁C，
而　AC?平面D₁AC，
故　平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．