Question

（2010•抚州模拟）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，∠ABC=60°，BB₁=BC=2，M为BC中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的正切值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求出向量的数量积为0，利用向量垂直的判断定理列出方程，求出h的值．
（2）求出平面NAB₁的一个法向量，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角．

解答：解：（1）分别以BC，BB₁所在直线为y，z轴，过B且与BC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A（-

3

，1，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(0，1，0)，B1（0，0，2），N（0，2，h）．
∵

AB1

⊥

MN

，
∴

AB1

•

MN

=0，

AB1

=(

3

，-1，2)，

MN

=（0，1，h），
∴-1+2h=0，
∴h=

1

2

．
即点N所在位置在比线段CC₁的四等分点且靠近C点处．
（2）设

n

=(x，y，z)是平面NAB₁的一个法向量

AB1

=(

3

，-1，2)，

AN

=(

3

，1，

1

2

），则

n1 • AB1 =0 n1 • AN =0

⇒

3 x-y+2z=0 3 x-y+ 1 2 z=0

⇒

n1

=(-

5 3

9

，1，

4

3

），
同理可得平面MAB₁的法向量 

n2

=（0，2，1），
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

15

5

，
所以二面角M-AB₁-N的正切值为

6

3

．

点评：解决空间中的位置关系和度量关系的方法，常利用的方法是建立空间直角坐标系，转换为向量来解决．