Question

15、如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（2）求证：平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析：（1）连接AC，则AC∥A₁C₁，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，然后再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；

解答：解：（1）连接AC，则AC∥A₁C₁，而E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
则EF∥A₁C₁，故EF∥平面A₁BC₁（7分）
（2）因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，
则A₁C₁⊥平面D₁DBB₁（12分）
又A₁C₁?平面A₁BC₁，所以平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁（14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．