Question

【题目】已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C在直线x＋y－1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3

【解析】

（1）由圆的性质知圆心在线段的垂直平分线上，因此可求得线段的垂直平分线的方程，与方程联立，可求得圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程；

（2）设的方程为．代入圆方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．而以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则有，即，由此可求得，得直线方程．

(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，

∴线段PQ的中点M，斜率kPQ＝－1，

则PQ的垂直平分线方程为，

即．

解方程组

得

∴圆心C(1，0)，半径．

故圆C的方程为．

(2)由l∥PQ，设l的方程为．

代入圆C的方程，得．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．

故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，

依题意知OA⊥OB，则．

∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，

于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0．

∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>0．

故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3．