Question

【题目】设f（x）=alnx+ + x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求导函数可得

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．

∴f′（1）=0，∴ ，

∴a=﹣1；

（2）

解：由（1）知， （x＞0）

=

令f′（x）=0，可得x=1或x= （舍去）

∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增

∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3

【解析】（1） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；（2） 由（1）知， （x＞0）， = ，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．