Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，，成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设曲线，点，为该曲线上不同的两点.求证：当时，直线的斜率大于-1.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）对函数进行求导得，对分为和两种情形，讨论导数与0的关系，即可得单调性；（Ⅱ）利用分离参数的思想，原不等式等价于，成立，令，利用导数求出其最小值即可；（Ⅲ）不妨设且，要证明直线AB斜率大于，即证，，利用导数证明其单调递增即可.

详解：（Ⅰ） ，

若，，

无单调递增区间.

若，由，

当，；

当，.

综上所述：当时，，无单调递增区间；

当时，，.

（Ⅱ）当，时

，

因为，成立，

即，成立，

即，成立，

设，

，

，

，

故当时，有极小值，此极小值即为最小值，

因为,成立，所以，因此，

即的取值范围为.

（Ⅲ）不妨设且，要证明直线AB斜率大于，即证，即证，

由已知，其中，，

设，

则，

，因此当时，，

即，所以原命题得证.