Question

17．在方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的区域内（包含边界）任取一点P（x，y），则z=xy的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 作出出三角形区域，分类讨论，根据基本不等式，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出约束条件|x|+|y|=1所对应的可行域，
当x，y异好时，xy＜0，
当x，y其中一个为0时，xy=0，
当x，y同号时，若x＞0，y＞0时，则x+y=1，
则xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
同理x＜0，y＜0时，则-x-y=1，
则xy=（-x）（-y）≤（-$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=-$\frac{1}{2}$时取等号，
则xy的最大值为$\frac{1}{4}$，
即z的最大值为$\frac{1}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用条件作出对应区域，结合基本不等式是解决本题的关键．