Question

7．设P是曲线y=x-$\frac{1}{2}$x²-lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
• C． [$\frac{3π}{4}$，π）
• D． [0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．

解答 解：由y=x-$\frac{1}{2}$x²-lnx，得y′=1-x-$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵1-x-$\frac{1}{x}$=1-（x+$\frac{1}{x}$）$≤1-2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=-1$，
当且仅当x=1时上式“=”成立．
∴y′≤-1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于-1．
则tanθ≤-1，
又θ∈[0，π），
∴θ∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}$]．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．