Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，得到曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程及其参数方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，对于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），记δ=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，点P（2，4），Q在曲线C上运动，求δ的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，化为ρ²=4ρsinθ，利用

ρ2=x2+y2 y=ρsinθ

，可得直角坐标方程：x²+（y-2）²=4，设x=2cosα，y=2+2sinα，可得其参数方程．
（II）由（I）的参数方程可设Q（2cosα，2+2sinα），可得δ=|2cosα-2|+|2+2sinα-4|=|2cosα-2|+|2sinα-2|，于是δ²=12-8（sinα+cosα）+8|sinαcosα-（sinα+cosα）+1|，令sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=t∈[-

2

，

2

]，sinαcosα=

t2-1

2

．代入可得δ=2|t-2|，即可得出．

解答： 解：（I）由曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，化为ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
设x=2cosα，y=2+2sinα，可得其参数方程

x=2cosα y=2+2sinα

（α∈[0，2π）为参数）．
（II）由（I）的参数方程可设Q（2cosα，2+2sinα），
∴δ=|2cosα-2|+|2+2sinα-4|=|2cosα-2|+|2sinα-2|，
∴δ²=12-8（sinα+cosα）+8|sinαcosα-（sinα+cosα）+1|，
令sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=t∈[-

2

，

2

]，
则sinαcosα=

t2-1

2

．
∴δ²=12-8t+8|

t2-1

2

-t+1|，
=12-8t+4（t-1）²
=4（t-2）²，
∴δ=2|t-2|，
∵t∈[-

2

，

2

]，
∴δ=[4-2

2

，4+4

2

]．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其参数方程、三角函数换元法、同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．