Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且cosα=

1

3

，cos（α+β）=-

4

5

，则cosβ=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由cosα=

1

3

，且0＜α＜

π

2

＜β＜π，可得sinα═

1-cos2α

=

2 2

3

，cosβ＜0，即有cos（α+β）=-

4

5

，

π

2

＜α+β＜

3π

2

，从而可求得sin（α+β）=±

1-cos2(α+β)

=±

3

5

，即可解得cosβ的值．

解答： 解：∵cosα=

1

3

，且0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴sinα═

1-cos2α

=

2 2

3

，cosβ＜0，
∵cos（α+β）=-

4

5

，

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴sin（α+β）=±

1-cos2(α+β)

=±

3

5

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）
=

1

3

×(-

4

5

)+

2 2

3

×(±

3

5

)=-

4+6 2

15

，或

6 2 -4

15

（舍去）
故答案为：-

4+6 2

15

．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基本知识的考查．