Question

在各项均为正数的数列中，前项和满足。
(1)证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前项和的公式；
(2)在平面直角坐标系面上，设点满足，且点在直线上，中最高点为，若称直线与轴、直线所围成的图形的面积为直线在区间上的面积，试求直线在区间上的面积；
（3）若存在圆心在直线上的圆纸片能覆盖住点列中任何一个点，求该圆纸片最小面积．

Answer 1

（1）   （2） （3）

  （1）由已知得     ①
故       ②
②－①得
结合，得
是等差数列           ……（2分）
又时，，解得或
      
又，故                  
     ……（4分）
（2）

即得点
设，消去n，得
即直线C的方程为           ……（7分）
又是n的减函数
∴为中的最高点，且
又M₃的坐标为（，）
∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形
从而直线C在[，1]上的面积为 ……（9分）
（3）由于直线C：上的点列M_n依次为
M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），……，M_n（），
而
因此，点列M_n沿直线C无限接近于极限点M（，） ……（12分）
又
所以最小圆纸片的面积为……（14分）