Question

已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，则cos²A+cos²C的取值范围是

[

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：由A，B及C成等差数列，根据等差数列的性质求出B的度数，进而得到A+C的度数，利用二倍角的余弦函数公式化简所求式子，再利用积化和差变形，把A+C的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域即可得到所求式子的范围．

解答：解：∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=60°，即A+C=120°，
cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2c

2

=1+

cos2A+cos2C

2

=1+cos（A+C）cos（A-C）
=1-

1

2

cos（A-C），
∵-1≤cos（A-C）≤1，
∴

1

2

≤1-

1

2

cos（A-C）≤

3

2

，
则cos²A+cos²C的取值范围是[

1

2

，

3

2

]．
故答案为：[

1

2

，

3

2

]

点评：此题考查了等差数列的性质，二倍角的余弦函数公式，积化和差公式，以及余弦函数的值域，利用三角函数的恒等变形把所求式子化为一个角的余弦函数是解题的关键．