Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是2＜x＜2

2

；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于

14 3

3

；③在△ABC中，若c=5，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，则△ABC的内切圆的半径为2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线AD=

7

2

；⑤设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

5

]．其中正确说法的序号是

①④⑤

（注：把你认为是正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：①要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，故取A的度数为90°和45°进行检验，找出A的范围，确定出sinA的范围，由已知的b及B，利用正弦定理表示出a=2

2

sinA，根据sinA的范围，得出2

2

sinA的范围，即为a的取值范围；
②由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，然后再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径；
③由正弦定理表示b与a的比值，代入已知的等式，利用二倍角的正弦函数公式化简，根据A和B为三角形的内角，且两角不相等，得到A和B互余，即C为直角，同时根据b与a的比值设出a与b，再由c的值，利用勾股定理求出a与b的值，根据直角三角形内切圆半径的公式即可求出；
④利用余弦定理表示出cosB，把三角形的三边长代入求出cosB的值，再由D为BC的中点，求出BD的长，在三角形ABD中，由AB，BD及cosB的值，利用余弦定理即可求出中线AD的长；
⑤利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左边利用基本不等式求出最小值，右边利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出右边式子的最大值，即为

b

c

+

c

b

的最大值，即可得到

b

c

+

c

b

的范围．

解答：解：①因为AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即

2

2

＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=x=

bsinA

sinB

=2

2

sinA，
又

2

2

＜sinA＜1，
∴2

2

sinA∈（2，2

2

），
则x取值范围是2＜x＜2

2

，本选项正确；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
设三角形ABC的外接圆半径为R，
根据正弦定理得：2R=

a

sinA

=

7

sin60°

，解得：R=

7 3

3

，本选项错误；
③由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，∴

sinB

sinA

=

cosA

cosB

，即sinBcosB=sinAcosA，
∴

1

2

sin2B=

1

2

sin2A，即sin2B=sin2A，
又A和B为三角形的内角，
∴2A+2B=180°或2A=2B，
∵

b

a

=

4

3

，得到a≠b，即A≠B，故2A=2B舍去，
∴A+B=90°，即C为直角，
可设a=3k（k＞0），则有b=4k，根据勾股定理列得：（3k）²+（4k）²=25，
解得：k=1，即a=3，b=4，
则三角形内切圆的半径r=

3+4-5

2

=1，本选项错误；
④∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

3

，
又D为BC的中点，∴BD=

1

2

BC=

9

2

，
在三角形ABD中，AB=4，BD=

9

2

，cosB=

2

3

，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=

49

4

，
解得：AD=

7

2

，本选项正确；
⑤∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA
=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）
=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

），
又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]，本选项正确，
则正确说法的序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，直角三角形内切圆半径求法，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．