Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交于点D，B₁C₁的中点为M，求证：CD⊥平面BDM．

Answer 1

【答案】分析：先以CB为x轴，CC₁为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，然后分别确定点B、M、D的坐标，进而确定、、的坐标，再通过计算得向量乘积为0，证得，，则问题得证．
解答：证明：由题意知AC、BC、CC₁两两垂直，
则以CB为x轴，CC₁为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．
因为CB=，CC₁=AA₁=1，CA=1，M为B₁C₁的中点．
所以B（，0，0），M（，1，0），
又因为点D是矩形AA₁B₁B的两条对角线的交点，
所以D（，，），
则=（，，），=（-，1，0），=（-，，），
所以=-+=0，=-++=0，
所以，，
又BM∩BD=B，
所以CD⊥平面BDM．
点评：本题考查向量法解决立体几何问题．