Question

已知平面区域的外接圆与轴交于点，椭圆以线段
为长轴，离心率．
(1)求圆及椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，点为圆上异于的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。

Answer 1

，
当时，，故直线PQ始终与圆C相切

解:（1）由题意可知，平面区域是以及点为顶点的三角形，
∵，∴为直角三角形，∴外接圆以原点为圆心，
线段为直径，故其方程为．                   ……4分
．又，∴，可得．
∴所求椭圆的方程是．                     ……………6分
（2）直线与圆相切．设，则．
当时，，，∴； ……8分
当时，，∴.                 ……9分
∴直线的方程为．因此，点的坐标为．∵，
∴当时，，；
当时候，，∴，∴．        ………12分
综上所述，当时，，故直线PQ始终与圆C相切． ………13分