Question

已知函数f(x)=ln

2-x

a+x

是奇函数，
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）求证f（x）在定义域上是单调减函数．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义知f（x）=-f（-x），列出关于a的方程求解，注意把所求的值代入验证；
（2）把（1）的结果代入，根据对数的真数大于零列不等式求解，最后用集合或区间的形式表示；
（3）在定义域内任取两个自变量且规定大小，在作差比较真数

2-x1

2+x1

和

2-x2

2+x2

的大小，用通分后在化简，判断符号后再根据y=lnx的单调性，判断出f（x₁）和f（x₂）的大小．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ln

2-x

a+x

是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即ln

2-x

a+x

=-ln

2+x

a-x

=ln

a-x

2+x

，则

2-x

a+x

=

a-x

2+x

，化简得：4-x²=a²-x²，
解得a=±2，当a=-2时，f（x）=ln（-1）故舍去，故a=2．
（2）由（1）知，a=2故f（x）=ln

2-x

2+x

，
要使函数有意义，则

2-x

2+x

＞0，即（2-x）（2+x）＞0，
解得，-2＜x＜2；故函数f（x）的定义域（-2，2）．
（3）证明：任取实数x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，
∴

2-x1

2+x1

-

2-x2

2+x2

=

(2-x1)(2+x2)-(2-x2)(2+x1)

(2+x1)(2+x2)

=

4(x2-x1)

(2+x1)(2+x2)

；
∵x₁，x₂∈（-2，2），x₁＜x₂；
∴2+x₁＞0，2+x₂＞0；x₂-x₁＞0，
∴

2-x1

2+x1

-

2-x2

2+x2

＞0，即

2-x1

2+x1

＞

2-x2

2+x2

，
∵函数y=lnx在定义域内时增函数，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域（-2，2）上是单调减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和用定义法证明单调性，对于含有对数函数的复合函数在证明时，先对真数作差比较真数的大小，再利用对数函数的单调性比较f（x₁）和f（x₂）大小．