Question

求函数f(x)=x²-2ax-1在区间［0,2］上的最大值和最小值.

Answer 1

思路分析:考查函数的最值的求法及分类讨论的思想方法.二次函数在给定区间上的最值(值域)通常与它的开口方向、对称轴和区间的相对位置有关,因此此类题也常常需要分类讨论.

解:f(x)=x²-2ax-1=(x-a) ²-a²-1为二次函数,图象为开口向上的抛物线,

在区间［0,2］上的最值与对称轴x=a和区间［0,2］的相对位置相关,

所以需要对对称轴x=a进行讨论:

①当a＜0时,f(x)_min=-1,f(x)_max=3-4a;

②当0≤a＜1时,f(x)_min=-1-a²,f(x)_max=3-4a;

③当1≤a≤2时,f(x)_min=-1-a²,f(x)_max=-1;

④当a≥2时,f(x)_min=3-4a,f(x)_max=-1.