Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率e=

6

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若

AP

=λ

AQ

且λ≥

1

3

，求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点M，可求点M的坐标，由|MF|=1，可得方程，借助于离心率e=

6

2

及几何量的关系，从而求出双曲线的方程；
（2）将直线与双曲线的方程联立可得（1-2k²）x²-4kx-4=0，，从而可有

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

，即

1

2

＜k2＜1且k＜0，再根据

AP

=λ

AQ

且λ≥

1

3

，有

(1+λ)2

λ

=

4k2

2k2-1

=2+

2

2k2-1

，从而可求k的取值范围．

解答：解：（1）由对称性，不妨设M是右准线x=

a2

c

与一渐近线y=

b

a

x的交点，
其坐标为M（

a2

c

，

ab

c

），∵|MF|=1，∴

b4

c2

+

a2b2

c2

=1，
又e=

c

a

=

6

2

∴

b

a

=

e2-1

=

2

2

，c2=a2+b2=

3

2

a2，
解得a²=2，b²=1，所以双曲线C的方程是

x2

2

-y2=1；（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2-2y2=2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

∴

1

2

＜k2＜1且k＜0①（9分）
又∵

AP

=λ

AQ

且P在A、Q之间，λ≥

1

3

，∴x₁=λx₂且

1

3

≤λ＜1，
∴

(1+λ)x2= -4k 2k2-1 λ x 2 2 = 4 2k2-1

∴

(1+λ)2

λ

=

4k2

2k2-1

=2+

2

2k2-1

，
∵f(λ)=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2在[

1

3

，1)上是减函数（∵f′（λ）＜0），
∴4＜f(λ)≤

16

3

，
∴4＜2+

2

2k2-1

≤

16

3

，由于k2＞

1

2

，∴

4

5

≤k2＜1②（12分）
由①②可得：-1＜k≤-

2 5

5

，（13分）
即直线l斜率取值范围为(-1，-

2 5

5

]（14分）

点评：本题考查双曲线标准方程的求解，关键是寻找几何量之间的关系，考查直线与双曲线的位置关系，通过联立方程组，借助于根与系数的关系，从而使问题得解．