Question

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；

(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)证明　法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB＝AA1＝，

∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．

由＝，易得B1(－1,1,1)．

∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)，

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，

又BD∩BB1＝B，A1C?平面BB1D1D，

∴A1C⊥平面BB1D1D.

法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.

又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.

又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，

∴AC2＝＋A1C2，

∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，

∴A1C⊥平面BB1D1D.

(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．

∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，

∴

∴

取n＝(0,1，－1)，由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，

∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝.

又∵0≤θ≤，∴θ＝.