Question

已知等差数列{a_n}得前n项和为S_n，且a₂+a₃=2S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列的公差为d，∵a₁=1，a₂+a₃+a₄=9．
∴3a₁+6d=9，即3+6d=9，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n=

n(n+1)

2

．
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{

1

Sn

}的前n项和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，属于中档题．