Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1，其右焦点为F，直线l经过点F与椭圆交于A，B两点，且|AB|=

4 2

3

．
（1）求直线l的方程；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知易得右焦点的坐标为F（1，0），分斜率不存在时和斜率存在时，两种情况讨论，结合韦达定理和弦长公式，要求出直线l的方程；
（2）由点到直线距离公式，求出原点O到直线AB的距离，代入三角形面积公式，可得△OAB的面积．

解答：解：（1）∵椭圆的标准方程为：

x2

2

+y2=1
故c=1
则其右焦点的坐标为F（1，0）
当斜率不存在时，直线l的方程为x=1
此时|AB|=

2b2

a

=

2

，不符合条件；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴|AB|=

1+k2

•

( 4k2 1+2k2 )2-4× 2k2-2 1+2k2

=

1+k2

1+2k2

×

8

=

4 2

3

解得k=±1
故直线l的方程为：x+y-1=0或x-y-1=0
（2）原点到直线x+y-1=0或x-y-1=0的距离d=

1

2

=

2

2

故△OAB的面积S=

1

2

×

4 2

3

×

2

2

=

2

3

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥的曲线的关系，点到直线的距离公式，联立方程+韦达定理+设而不求是解答直线与圆锥曲线位置关系的三大法宝．