Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，-sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx-2$\sqrt{3}$cosx），x∈R，设f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）首先求出解析式，然后利用三角函数的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，再利用正弦函数的性质求周期和值域．

解答 解：（1）由已知f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以（1）函数的周期为$\frac{2π}{2}=π$；
（2）因为x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}$]，所以函数sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]，函数f（x）的值域为：[-1，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及三角函数式的化简，正弦函数的周期和值域；关键是正确化简三角函数为最简形式．