Question

4．（Ⅰ）若函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-kx-k}$定义域为R，求k的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式（x-a）（x+a-1）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得x²-kx-k≥0恒成立，根据判别式即可求出．
（Ⅱ）对a分类讨论，求出其解集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-kx-k}$定义域为R，∴x²-kx-k≥0恒成立
∴△=k-4（-k）≤0，∴-4≤k≤0，
（II）解：不等式（x-a）（x+a-1）＞0对应方程的实数根为a和1-a；…（5分）
①当1-a=a，即a=$\frac{1}{2}$时，不等式化为（x-$\frac{1}{2}$）²＞0），∴x≠$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集为{x|x≠$\frac{1}{2}$}；…（7分）
②当1-a＞a，即a＜$\frac{1}{2}$时，解得x＞1-a或x＜a，
∴不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜a}；…（9分）
③当1-a＜a，即a＞$\frac{1}{2}$时，解得x＞a或x＜1-a，
∴不等式的解集为{x|x＞a或x＜1-a}．…（11分）
综上，当a=$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x≠$\frac{1}{2}$}；
当a＜$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x＞1-a或x＜a}；
当a＞$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x＞a或x＜1-a}．…12 分

点评 本题考查了不等式的解法，对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．