Question

已知f（x）=-x+xlnx+m，g（x）=-

3ex

3+4x2

，若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），则m的取值范围为

（1-

3

4

e

，+∞）

．

Answer 1

分析：若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），则g（x）=-

3ex

3+4x2

的最小值小于f（x）=-x+xlnx+m的最小值，利用导数法分别求出两个函数的最小值，进而可得m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=-x+xlnx+m，g（x）=-

3ex

3+4x2

，
∵g′（x）=

-3ex(4x2-8x+3)

(3+4x2)2

=

-3ex(2x-1)(2x-3)

(3+4x2)2

∵x₁∈（0，

1

2

）时，g′（x）＜0，x₁∈（

1

2

，

3

2

）时，g′（x）＞0，
故当x=

1

2

时，g（x）取最小值-

3

4

e

又∵f′（x）=lnx，
∵x₁∈（0，1）时，f′（x）＜0，x₁∈（1，

3

2

）时，f′（x）＞0，
故当x=1时，f（x）取最小值m-1
若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），
则g（x）=-

3ex

3+4x2

的最小值小于f（x）=-x+xlnx+m的最小值
即-

3

4

e

＜m-1
即m＞1-

3

4

e

故m的取值范围为：（1-

3

4

e

，+∞）
故答案为：（1-

3

4

e

，+∞）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，熟练掌握导数法求最值的方法步骤是解答的关键．