Question

已知一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集为R，若a≤4，则

a-2b

a+b

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：结合让式子有意义的原则，及二次不等式恒成立的条件，可得到关于a，b的不等式组，画出对应的平面区域，可将问题转化为线性规划问题．

解答： 解：若一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集为R，
则

a-2＞0 △=4(b-1)-4(a-2)＜0

即

a＞2 a-b＞1

又由a≤4，b≥1可得满足条件的平面区域如下图所示：

令k=

b

a

，则k表示平面上一动点（a，b）与原点连线的斜率，
由图可知k∈[

1

4

，

3

4

）
∵

a-2b

a+b

=

1-2k

1+k

∵f（k）=

1-2k

1+k

在[

1

4

，

3

4

）为减函数，且f（

1

4

）=

2

5

，f（

3

4

）=-

2

7

故

a-2b

a+b

的取值范围是：（-

2

7

，

2

5

]
故答案为：（-

2

7

，

2

5

]

点评：本题考查的知识点是二次不等式恒成立，线性规划，斜率的几何意义，综合性强，难度较大．