Question

14．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）$，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 可先根据数量积为零得出$\overrightarrow{BC}$与λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）$，
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）．
又∵$\overrightarrow{BC}$•（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）=-|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{BC}$|=0
∴$\overrightarrow{BC}$与λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）垂直，
即$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心
故选：D．

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出$\overrightarrow{BC}$与λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）垂直，属于中档题．