Question

已知函数f（x）=x²-2ax-1，在[0，2]]内的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）的表达式；
（Ⅱ）求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1的图象的对称轴方程为x=a，分类讨论，利用二次函数的性质求得函数在[0，2]]内的最大值为g（a）．
（Ⅱ）根据g（a）的解析式，分类讨论求得g（a）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1的图象的对称轴方程为x=a，
当a≤0时，f（x）在[0，2]上为增函数，∴最大值为f（2）=3-4a．
当0＜a≤1，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，2]上为增函数，且f（2）＞f（0）．∴f（x）的最大值为f（2）=3-4a；
当1＜a＜2时，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，2]上为增函数，且f（0）＞f（2），∴f（x）的最大值为f（0）=-1；
当a≥2时，f（x）在[0，2]上为减函数，f（x）的最大值为f（0）=-1，
综上所述，g(a)=

3-4a，a≤1 -1， a＞1

．
（Ⅱ）结合函数g（a）的解析式可得，当a≤1时，g（a）≥3-4=-1，而当a＞1时，g（a）=-1，
故g（a）的最小值为-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．