Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}（x＞0）}\\{{x}^{3}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，则函数y=f（2x²+x）-a（a＞2）的零点个数可能是4，5，6．

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}（x＞0）}\\{{x}^{3}+3（x≤0）}\end{array}\right.$与函数y=2x²+x的图象，从而讨论以确定函数的零点的个数．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}（x＞0）}\\{{x}^{3}+3（x≤0）}\end{array}\right.$与函数y=2x²+x的图象如下，

二次函数y=2x²+x的值域为[-$\frac{1}{8}$，+∞），
故2x²+x+$\frac{1}{2{x}^{2}+x}$-a=0有四个解；
由（2x²+x）³+3-a=0得，
a=（2x²+x）³+3，
故当2＜a＜3-$\frac{1}{{8}^{3}}$时，（2x²+x）³+3-a=0无解，
当a=3-$\frac{1}{{8}^{3}}$时，（2x²+x）³+3-a=0有且只有一个解，
当3-$\frac{1}{{8}^{3}}$＜a≤3时，（2x²+x）³+3-a=0有且只有两个解；
综上所述，函数y=f（2x²+x）-a（a＞2）的零点个数可能是4，5，6；
故答案为：4，5，6．

点评 本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．